10 Вольт Это с подключенным реле? При нормальной рабочей температуре там вообще не должно быть напряжения!
При 10 Вольт обычно 12-ти вольтовое реле срабатывает. может там напряжение импульсное?
Для начала поменяйте реле.
Скорее всего на обмотку реле подается напряжение (пусть 10Вольт) постоянно при включенном зажигании при котором реле не может сработать, а когда когда реле срабатывает при 13 Вольт и напряжение и потом отключается, 10 Вольт остается на обмотке чтобы удерживать контакты реле в замкнутом состоянии. И поэтому если выкл-вкл зажигание, контакты реле отключаются, а при 10 Вольт сработать не могут.
Надо проверить провод который идет с ЭБУ управляющий к реле, не подключено к нему что-то еще что дает эти 10 Вольт?
Если нет то надо искать неисправность в ЭБУ.